Wo sind die Lücken?

Zwei Extreme derselben Frage

An Abend 4 ging es um den Durchschnitt: In der Nähe von x liegt zwischen zwei Primzahlen im Mittel ein Abstand von etwa ln(x). Ein Mittelwert sagt aber nichts über die Ausreißer. Heute sehen wir uns die beiden Enden an — die größten Abstände und die kleinsten.

Die Lücken

Der Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke:

g = p(nächste) − p

Die ersten Lücken: zwischen 2 und 3 liegt 1, zwischen 3 und 5 liegt 2, zwischen 5 und 7 wieder 2, zwischen 7 und 11 liegt 4.

Interessant sind die Rekordlücken — jede ist größer als alle vor ihr:

Lücke	zwischen	und
1	2	3
2	3	5
4	7	11
6	23	29
8	89	97
14	113	127
18	523	541
20	887	907
22	1 129	1 151
34	1 327	1 361

Zwei Dinge fallen auf.

Erstens: Alle Lücken ab der dritten sind gerade. Das ist schnell erklärt — zwischen zwei ungeraden Zahlen liegt immer ein gerader Abstand, und außer der 2 sind alle Primzahlen ungerade.

Zweitens: Der Sprung von 22 auf 34. Die Rekorde wachsen nicht in kleinen Schritten, sondern in Sprüngen, und wo der nächste kommt, lässt sich nicht vorhersagen. Man kann nur suchen.

Dass es beliebig große Lücken gibt, haben wir an Abend 3 bewiesen. Was niemand weiß: wo genau sie liegen.

Die Zwillinge

Am anderen Ende steht der kleinstmögliche Abstand zwischen zwei ungeraden Primzahlen — nämlich 2. Solche Paare heißen Primzahlzwillinge:

(3, 5)   (5, 7)   (11, 13)   (17, 19)   (29, 31)
(41, 43) (59, 61) (71, 73)   (101, 103) (107, 109)

Bis 100 gibt es acht solche Paare. Bis 1 000 sind es 35, bis einer Million 8 169. Sie werden seltener — aber wie bei den Primzahlen selbst stellt sich die Frage: Hört es irgendwann auf?

Die Zwillingsvermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.

Diese Vermutung ist über 150 Jahre alt und bis heute unbewiesen. Das ist bemerkenswert: Dass es unendlich viele Primzahlen gibt, hat Euklid auf einer halben Seite gezeigt. Dass es unendlich viele Paare mit Abstand 2 gibt, hat niemand zeigen können.

Wie nah man der Antwort gekommen ist

2013 gelang Yitang Zhang ein Durchbruch, über den weit über die Mathematik hinaus berichtet wurde. Er bewies:

Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand von höchstens 70 Millionen.

Das klingt nach wenig — 70 Millionen statt 2. Der entscheidende Punkt ist aber: Es ist eine feste Schranke. Vorher wusste man nicht einmal, ob es irgendeine solche Zahl gibt. Es hätte ja sein können, dass die Abstände unaufhaltsam wachsen.

Danach ging es schnell. Eine weltweite Zusammenarbeit drückte die Schranke innerhalb eines Jahres von 70 Millionen auf 246. Dort steht sie seither.

Von 246 auf 2 ist der verbleibende Weg — und niemand weiß, ob die heutigen Methoden dafür überhaupt ausreichen.

Noch engere Nachbarschaften

Zwillinge sind nicht das Ende. Es gibt auch Vierlinge — vier Primzahlen im Muster p, p+2, p+6, p+8, dem engstmöglichen für vier Primzahlen:

(5, 7, 11, 13)
(11, 13, 17, 19)
(101, 103, 107, 109)
(191, 193, 197, 199)

Enger geht es nicht, und das lässt sich beweisen: Unter fünf aufeinander­ folgenden ungeraden Zahlen ist immer mindestens eine durch 3 teilbar. Die Muster sind also nicht beliebig — die Teilbarkeit setzt harte Grenzen.

Dieselbe Überlegung erklärt auch, warum (3, 5, 7) das einzige Tripel mit Abstand 2 und 2 ist: Von je drei ungeraden Zahlen im Abstand 2 ist immer eine durch 3 teilbar. Bei (3, 5, 7) ist das die 3 selbst — die darf es, weil sie die 3 ist.

Eine Vorhersage, die stimmt, aber unbewiesen ist

Hardy und Littlewood gaben 1923 eine Formel an, wie viele Zwillinge unterhalb x zu erwarten sind. Sie enthält eine Konstante von etwa 1,320 32, die aus der Teilbarkeit durch alle Primzahlen entsteht.

Die Formel trifft die tatsächlichen Zahlen verblüffend genau — bis in Bereiche, die Computer gerade noch erreichen. Bewiesen ist sie nicht. Sie beruht auf der Annahme, dass sich Primzahlen in gewisser Hinsicht wie Zufall verhalten, und genau diese Annahme ist der ungelöste Kern.

Das ist eine Lage, die in der Mathematik öfter vorkommt, als Außenstehende vermuten: Man weiß die Antwort mit großer Sicherheit, kann sie aber nicht beweisen. Und solange der Beweis fehlt, zählt sie nicht.

Am Rechner

Unter Werkzeuge · Lücken & Zwillinge lassen sich beide Enden ansehen: die Rekordlücken als Tabelle mit Balken, und die Zwillingspaare in einem gewählten Bereich. Achten Sie darauf, wie die Zwillinge auch bei einer Million noch regelmäßig auftauchen.