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Primzahl-Prüfer und Faktorisierung
Prüft Zahlen bis 60 Stellen mit Miller-Rabin — bis 3,3 · 10²⁴ beweisend, darüber mit zwölf Zeugen. Zusammengesetzte Zahlen werden mit Pollards Rho zerlegt.
Primzahldichte
Ab welcher Zahl liegt der Anteil der Primzahlen unter 2 %, unter 1 %, unter einem Promille? Eine Frage aus der laufenden Arbeit von Erich Bartholomé – hier zum Selbstausprobieren.
Unter 2 % fällt der Anteil der Primzahlen etwa ab
1,44 · 1022
eine Zahl mit 23 Stellen · ln x ≈ 51.02
Exakt nachgerechnet
außer Reichweite
Verfahren
Primzahlsatz (Li)
Für diesen Anteil liegt die Schwelle weit jenseits dessen, was sich vollständig durchrechnen lässt. Der Wert stammt aus dem Primzahlsatz und ist eine Näherung, kein bewiesener exakter Wert.
Nachgerechnet: π(10ᵏ) und der Anteil
| bis | Primzahlen | Anteil | Balken |
|---|---|---|---|
| 101 | 4 | 40.00 % | |
| 102 | 25 | 25.00 % | |
| 103 | 168 | 16.80 % | |
| 104 | 1.229 | 12.29 % | |
| 105 | 9.592 | 9.59 % | |
| 106 | 78.498 | 7.85 % | |
| 107 | 664.579 | 6.65 % | |
| 108 | 5.761.455 | 5.76 % |
Faustregel
Anteil 1/n → Schwelle ≈ en+1
Jede Halbierung des Anteils quadriert die Schwelle ungefähr. Von 1 % auf 0,1 % wächst sie von 44 auf 435 Stellen, auf 0,01 % bereits auf 4.344 Stellen.
Die Primzahlen werden dünner, aber sie hören nie auf. Bis 100 ist jede vierte Zahl prim, bis einer Million noch jede dreizehnte. Unter 10 % fällt der Anteil dauerhaft ab 64.721 — das ist noch nachrechenbar. Unter 1 % fällt er erst bei einer Zahl mit 44 Stellen, und dort hilft nur noch der Primzahlsatz.
Sieb des Eratosthenes
Das älteste Verfahren der Zahlentheorie, Schritt für Schritt: Jede gefundene Primzahl streicht ihre Vielfachen. Was übrig bleibt, ist prim.
2 ist prim — jetzt werden die Vielfachen gestrichen.
0 Primzahlen bis 200
Ulam-Spirale
Zahlen spiralförmig aufs Papier, Primzahlen markiert — und plötzlich erscheinen Diagonalen, für die es bis heute keine Erklärung gibt.
Die Zahlen laufen spiralförmig von der Mitte nach außen, jede Primzahl ist ein Punkt. Stanisław Ulam entdeckte das Muster 1963 beim Kritzeln während eines Vortrags: Die Punkte häufen sich auf Diagonalen — das sind quadratische Polynome, die auffällig viele Primzahlen liefern. Warum, ist bis heute unbewiesen.
Verteilung: π(x) gegen ihre Näherungen
Wie gut treffen x/ln x und Li(x) die tatsächliche Anzahl der Primzahlen? Der Abstand zwischen den Kurven ist das Thema der Riemannschen Vermutung.
- π(x) — tatsächlich
- x / ln x
- Li(x)
Alle drei Kurven zählen dieselbe Größe. x/ln x ist die einfache Näherung aus dem Primzahlsatz, Li(x) die deutlich genauere. Dass Li(x) die tatsächliche Anzahl im gezeigten Bereich stets leicht überschätzt, ist kein Zufall — aber auch kein Gesetz: Littlewood bewies 1914, dass sich das Vorzeichen unendlich oft umkehrt.
Goldbachsche Vermutung
Jede gerade Zahl ab 4 als Summe zweier Primzahlen — probieren Sie, eine zu finden, bei der es nicht geht.
6 Zerlegungen von 100 in zwei Primzahlen
Christian Goldbach schrieb 1742 an Euler, jede gerade Zahl größer als 2 lasse sich als Summe zweier Primzahlen schreiben. Geprüft ist das inzwischen bis über 4 · 10¹⁸ — bewiesen ist es nicht. Auffällig: Je größer die Zahl, desto mehr Zerlegungen gibt es. Ein Gegenbeispiel müsste also gegen einen immer stärkeren Trend anlaufen.
Lücken und Zwillinge
Rekordlücken zwischen benachbarten Primzahlen und die Paare mit Abstand 2 — die beiden Extreme derselben Verteilung.
18 Rekordlücken bis 1.000.000 — größte: 114
| Lücke | nach | bis | Balken |
|---|---|---|---|
| 114 | 492.113 | 492.227 | |
| 112 | 370.261 | 370.373 | |
| 96 | 360.653 | 360.749 | |
| 86 | 155.921 | 156.007 | |
| 72 | 31.397 | 31.469 | |
| 52 | 19.609 | 19.661 | |
| 44 | 15.683 | 15.727 | |
| 36 | 9.551 | 9.587 | |
| 34 | 1.327 | 1.361 | |
| 22 | 1.129 | 1.151 | |
| 20 | 887 | 907 | |
| 18 | 523 | 541 | |
| 14 | 113 | 127 | |
| 8 | 89 | 97 | |
| 6 | 23 | 29 | |
| 4 | 7 | 11 | |
| 2 | 3 | 5 | |
| 1 | 2 | 3 |
Eine Rekordlücke ist größer als jede Lücke davor. Dass beliebig große Lücken existieren, ist leicht zu zeigen; wo die nächste Rekordlücke liegt, weiß niemand im Voraus.
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