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Vier Fragen aus der Zahlentheorie, die seit Jahrhunderten offen sind. Die folgenden Darstellungen sind allgemeine Mathematik – was Erich Bartholomé dazu im Einzelnen erarbeitet hat, wird hier ergänzt.
Woran er arbeitet
Je weiter man zählt, desto seltener werden die Primzahlen. Bis 100 ist jede vierte Zahl prim, bis zur Million nur noch jede dreizehnte. Die Frage ist, wie schnell das geht – und an welcher Stelle genau bestimmte Schwellen unterschritten werden.
Nachrechnen lässt sich nur der Anfang: Unter 10 % bleibt der Anteil dauerhaft ab 64.721. Alles Weitere liegt jenseits jeder Rechenkapazität und folgt dem Primzahlsatz.
Dahinter steckt eine erstaunlich einfache Regel: Soll der Anteil unter 1/n fallen, liegt die Schwelle bei etwa e hoch (n+1). Der Anteil sinkt langsam – die Zahl, ab der er sinkt, wächst dafür explosionsartig.
Selbst ausprobierenFür solche Rechnungen nutzt Erich Bartholomé inzwischen auch KI-Systeme, unter anderem Claude – als Werkzeug, um Vermutungen zu prüfen und Rechenwege zu kontrollieren.
01
g_n = p_{n+1} − p_n
Zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen klaffen Lücken, die beliebig groß werden können und trotzdem erstaunlich regelmäßig auftreten.
Der Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen wächst im Mittel wie ln(n). Einzelne Lücken weichen davon erheblich ab – und gerade diese Ausreißer tragen die Information. Dass es beliebig große Lücken gibt, ist leicht zu zeigen; wo die nächste Rekordlücke liegt, weiß niemand im Voraus.
02
π(x) ~ x / ln(x)
Der Primzahlsatz sagt, wie viele Primzahlen unterhalb einer Schranke liegen. Der Fehlerterm ist das eigentliche Rätsel.
π(x) zählt die Primzahlen bis x und nähert sich x/ln(x). Die Abweichung zwischen Näherung und Wirklichkeit hängt unmittelbar an der Riemannschen Vermutung – dem wohl bekanntesten ungelösten Problem der Mathematik.
03
π₂(x) ~ 2C₂ · x / (ln x)²
Paare wie (11, 13) oder (10 006 427, 10 006 429). Ob es unendlich viele gibt, ist bis heute offen.
Die Zwillingsvermutung ist eine der ältesten offenen Fragen der Mathematik. Die Hardy-Littlewood-Konstante sagt voraus, wie dicht Zwillinge liegen sollten – eine Vorhersage, die sich bis in hohe Bereiche bestätigt, ohne bewiesen zu sein.
04
O(n · log log n)
Vom Sieb des Eratosthenes zu modernen segmentierten Verfahren – alte Idee, neue Rechenleistung.
Das Sieb ist 2.200 Jahre alt und noch immer das Verfahren der Wahl, wenn alle Primzahlen eines Bereichs gebraucht werden. Segmentierte Varianten verlagern die Arbeit in den Cache und machen Bereiche zugänglich, die früher unerreichbar waren.
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Vorträge für Schulen, Volkshochschulen und Vereine sind nach Absprache möglich — mit und ohne Vorkenntnisse im Publikum.
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