Wo wir stehen
In fünf Abenden haben wir Erstaunliches gesehen: Primzahlen sind die Bausteine aller Zahlen (Abend 1), lassen sich mit einem 2 200 Jahre alten Verfahren finden (Abend 2), hören nie auf (Abend 3), werden nach einem klaren Gesetz dünner (Abend 4) und liegen trotzdem mal dicht beieinander, mal weit auseinander (Abend 5).
Heute geht es um die andere Seite: die Fragen, auf die niemand eine Antwort hat. Es sind nicht wenige, und sie klingen alle harmlos.
Goldbach, 1742
Christian Goldbach schrieb am 7. Juni 1742 einen Brief an Leonhard Euler. Darin stand eine Beobachtung, die er an kleinen Zahlen gemacht hatte:
Goldbachsche Vermutung: Jede gerade Zahl größer als 2 lässt sich als Summe zweier Primzahlen schreiben.
Probieren wir es:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
50 = 3 + 47 = 7 + 43 = 13 + 37 = 19 + 31
Es funktioniert jedes Mal. Es funktioniert auch bei 1 000, bei einer Million und bei jeder Zahl, die je geprüft wurde — inzwischen über 4 · 10¹⁸. Das sind mehr Fälle, als es Sandkörner auf der Erde gibt.
Bewiesen ist es nicht. Seit 283 Jahren.
Bemerkenswert ist dabei: Je größer die Zahl, desto mehr Zerlegungen gibt es. Bei 50 sind es vier, bei 100 sechs, bei 1 000 bereits 28. Ein Gegenbeispiel müsste also gegen einen immer stärker werdenden Trend anlaufen. Genau das macht die Vermutung so glaubwürdig — und ihren Beweis so schwer. Wer sie beweisen will, muss zeigen, dass keine einzige der unendlich vielen geraden Zahlen durchfällt.
Riemann, 1859
Die berühmteste offene Frage der Mathematik hängt unmittelbar an dem, was wir an Abend 4 gesehen haben.
Erinnern Sie sich: π(x) lässt sich durch Li(x) annähern, aber es bleibt ein Fehler. Bei 1 000 lag Li(x) bei rund 178 statt 168. Die Frage ist: Wie groß kann dieser Fehler werden?
Bernhard Riemann fand 1859 auf einer neunseitigen Arbeit einen Zusammenhang zwischen diesem Fehler und den Nullstellen einer Funktion, die man heute Zetafunktion nennt. Seine Vermutung — nebenbei geäußert, nicht bewiesen — lautet, dass alle wesentlichen Nullstellen dieser Funktion auf einer einzigen geraden Linie liegen.
Was das bedeutet, lässt sich ohne Funktionentheorie so sagen:
Wenn die Riemannsche Vermutung stimmt, ist der Fehler zwischen π(x) und Li(x) so klein, wie er überhaupt sein kann — er wächst höchstens wie √x. Die Primzahlen wären dann so gleichmäßig verteilt, wie es bei ihrer Unregelmäßigkeit nur geht.
Die Vermutung ist seit 1859 offen. Sie steht auf der Liste der sieben Millennium-Probleme; auf ihre Lösung ist eine Million Dollar ausgesetzt. Mehr noch: Hunderte veröffentlichter Sätze beginnen mit den Worten „Unter Annahme der Riemannschen Vermutung gilt …". Ein Beweis würde all diese Sätze auf einen Schlag gültig machen — eine Widerlegung sie auf einen Schlag stürzen.
Ein Muster, das niemand erklärt
1963 saß der Mathematiker Stanisław Ulam in einem langweiligen Vortrag und kritzelte. Er schrieb die Zahlen spiralförmig von innen nach außen und kreiste die Primzahlen ein.
Erwartet hatte er nichts Besonderes. Was er sah, waren Diagonalen — deutliche Linien, auf denen sich die Primzahlen häufen, und Bereiche dazwischen, die auffällig leer bleiben. Bei zufälliger Verteilung dürfte so etwas nicht auftreten.
Teilweise ist es erklärbar: Die Diagonalen entsprechen quadratischen Polynomen, und manche davon liefern bemerkenswert viele Primzahlen. Eulers Polynom
n² + n + 41
ergibt für n = 0 bis 39 vierzig Primzahlen am Stück — 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83 und so fort. Erst bei n = 40 bricht es: 40² + 40 + 41 = 1 681 = 41².
Warum aber gerade diese Polynome so ergiebig sind und andere nicht, ist nicht verstanden. Das Muster in der Spirale ist seit über sechzig Jahren sichtbar — und seit über sechzig Jahren unerklärt.
Was offen bleibt
Eine unvollständige Liste dessen, was niemand weiß:
| Frage | offen seit |
|---|---|
| Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? | über 150 Jahren |
| Ist jede gerade Zahl Summe zweier Primzahlen? | 1742 |
| Liegen alle Nullstellen auf der Geraden? | 1859 |
| Gibt es zwischen n² und (n+1)² immer eine Primzahl? | 1882 |
| Gibt es unendlich viele Primzahlen der Form n² + 1? | unbekannt |
| Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? | offen |
Sechs Fragen, die ein Schulkind verstehen kann. Keine davon ist beantwortet.
Warum das kein Scheitern ist
Es wäre falsch, daraus den Schluss zu ziehen, die Mathematik komme nicht voran. Das Gegenteil ist der Fall. In den letzten fünfzehn Jahren ist mehr über Primzahlabstände bewiesen worden als in den hundert Jahren davor — Zhangs Durchbruch von 2013 war der Anfang einer ganzen Serie.
Und die Werkzeuge ändern sich. Was früher Jahre an Handrechnung bedeutete, läuft heute in Sekunden. Vermutungen lassen sich in Bereichen prüfen, die vor zwanzig Jahren unerreichbar waren — und Computer helfen inzwischen nicht nur beim Rechnen, sondern auch beim Suchen nach Mustern und beim Nachprüfen von Argumenten.
Das verschiebt die Arbeit, es ersetzt sie nicht. Ein Beweis bleibt ein Beweis: eine lückenlose Kette von Schlüssen, die für alle unendlich vielen Fälle gilt. Keine noch so große Zahl geprüfter Beispiele ersetzt sie. Das ist der Unterschied zwischen „es stimmt, soweit wir sehen können" und „es stimmt".
Zum Schluss
Wir haben mit der Frage angefangen, warum 1 keine Primzahl ist — einer Frage, die sich in fünf Minuten beantworten lässt. Wir hören bei Fragen auf, an denen Generationen gearbeitet haben, ohne weiterzukommen.
Dazwischen liegt kein großer Unterschied im Werkzeug. Es ist dieselbe Teilbarkeit, dieselbe Zerlegung, dasselbe Zählen. Nur dass die Antwort beim einen nach fünf Minuten da ist und beim anderen seit 283 Jahren aussteht.
Genau das macht die Primzahlen aus.
Am Rechner
Unter Werkzeuge finden Sie zu diesem Abend zwei Dinge: die Goldbach-Zerlegung, bei der Sie jede gerade Zahl eingeben und alle Summen zweier Primzahlen sehen, und die Ulam-Spirale, in der sich Eulers Polynom einzeichnen lässt. Beides zeigt ein ungelöstes Problem, ohne dass eine Formel nötig wäre.
Übungen
Was weiß man nicht?
1. Finden Sie alle Goldbach-Zerlegungen von 50 — also alle Paare von Primzahlen, die zusammen 50 ergeben.
2. Wie viele Zerlegungen hat 100? Schreiben Sie alle auf.
3. Prüfen Sie Eulers Polynom n² + n + 41 für n = 0, 1, 2 und 3. Was kommt heraus? Und was ergibt n = 40?
4. Ist 2¹¹ − 1 = 2 047 eine Primzahl? Falls nicht, zerlegen Sie die Zahl. Was lernt man daraus über Mersenne-Zahlen?
5. Zwischen 10² = 100 und 11² = 121 — liegt dort eine Primzahl? Prüfen Sie es auch für 20² und 21².
6. Erklären Sie in eigenen Worten, warum das Prüfen von 4 · 10¹⁸ Fällen die Goldbachsche Vermutung nicht beweist.
Zum Nachdenken. Angenommen, morgen findet jemand eine gerade Zahl, die sich nicht als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt. Was wäre damit bewiesen — und was nicht?
Lösungen anzeigen— erst selbst rechnen lohnt sich
1. 50 hat vier Zerlegungen:
50 = 3 + 47
50 = 7 + 43
50 = 13 + 37
50 = 19 + 31
Nicht gezählt sind Vertauschungen (47 + 3 ist dasselbe Paar).
2. 100 hat sechs Zerlegungen:
100 = 3 + 97
100 = 11 + 89
100 = 17 + 83
100 = 29 + 71
100 = 41 + 59
100 = 47 + 53
Vergleich mit Aufgabe 1: 50 hatte vier, 100 hat sechs. Die Anzahl wächst — genau der Trend, der die Vermutung so glaubwürdig macht.
3.
| n | n² + n + 41 | prim? |
|---|---|---|
| 0 | 41 | ja |
| 1 | 43 | ja |
| 2 | 47 | ja |
| 3 | 53 | ja |
| … | … | … |
| 39 | 1 601 | ja |
| 40 | 1 681 | nein: 41² = 1 681 |
Das Polynom liefert für n = 0 bis 39 vierzig Primzahlen in Folge. Bei n = 40 bricht es, und der Grund ist bei genauem Hinsehen offensichtlich:
40² + 40 + 41 = 40 · (40 + 1) + 41 = 41 · 40 + 41 = 41 · 41
Die 41 lässt sich ausklammern. Kein mysteriöser Zufall, sondern Algebra.
4. 2 047 ist nicht prim: 2 047 = 23 · 89.
Daraus lernt man: Dass p prim ist, garantiert nicht, dass 2ᵖ − 1 prim ist. Hier ist 11 prim, 2¹¹ − 1 aber nicht.
Die Umkehrung gilt dagegen: Ist 2ⁿ − 1 prim, dann muss n prim sein. Eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung — eine Unterscheidung, die in der Mathematik immer wieder auftaucht.
5. Zwischen 100 und 121: 101, 103, 107, 109, 113 — fünf Primzahlen.
Zwischen 400 und 441: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439 — sieben Primzahlen.
Die Vermutung von Legendre besagt, dass zwischen n² und (n+1)² immer mindestens eine liegt. Geprüft ist das bis in sehr hohe Bereiche. Bewiesen ist es seit 1882 nicht.
6. Eine mögliche Formulierung:
Die Vermutung behauptet etwas über unendlich viele Zahlen. 4 · 10¹⁸ geprüfte Fälle sind, gemessen an unendlich, nichts — danach kommen immer noch unendlich viele ungeprüfte. Ein Beweis muss alle auf einmal erfassen, nicht einen nach dem anderen.
Es gibt tatsächlich Vermutungen, die für Milliarden von Fällen stimmten und dann doch falsch waren. Das kleinste Gegenbeispiel kann beliebig weit draußen liegen.
Zum Nachdenken. Bewiesen wäre, dass die Goldbachsche Vermutung falsch ist — ein einziges Gegenbeispiel genügt dafür, und die Sache wäre nach 283 Jahren entschieden.
Nicht bewiesen wäre irgendetwas darüber, wie gerade Zahlen sich sonst verhalten. Es blieben alle anderen Fragen offen: ob es weitere Ausnahmen gibt, ob sie einem Muster folgen, ob es nur endlich viele sind.
Hier zeigt sich eine Unsymmetrie, die für die ganze Mathematik gilt: Eine Vermutung zu widerlegen braucht ein einziges Beispiel. Sie zu beweisen braucht ein Argument, das alle Fälle erfasst. Deshalb sind Gegenbeispiele oft schnell gefunden — und Beweise dauern Jahrhunderte.