Was ist eine Primzahl?

Teilen ohne Rest

Wir fangen bei etwas an, das jeder aus der Schule kennt: dem Teilen. Die Zahl 12 lässt sich ohne Rest teilen durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Diese sechs Zahlen heißen die Teiler von 12. Die 5 gehört nicht dazu — 12 geteilt durch 5 ergibt 2 Rest 2.

Schreiben wir die Teiler einiger Zahlen untereinander:

Zahl	Teiler	Anzahl
6	1, 2, 3, 6	4
7	1, 7	2
8	1, 2, 4, 8	4
9	1, 3, 9	3
10	1, 2, 5, 10	4
11	1, 11	2

Etwas fällt auf: Jede Zahl hat mindestens zwei Teiler, nämlich 1 und sich selbst. Manche haben genau diese zwei und keinen weiteren — hier 7 und 11.

Die Definition

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen Teilern: der 1 und sich selbst.

Die ersten Primzahlen lauten:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzt: 4, 6, 8, 9, 10, 12 und so fort. Der Name sagt, warum: Sie lassen sich aus kleineren Bausteinen zusammensetzen. 12 ist 2 · 2 · 3.

Die 2 steht etwas abseits — sie ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl hat ja die 2 als zusätzlichen Teiler und damit mindestens drei. Man sagt gelegentlich, die 2 sei die seltsamste aller Primzahlen, weil sie die einzige ist, die nicht ungerade ist.

Warum 1 nicht dazugehört

Hier kommt die Leitfrage. Die 1 hat nur einen einzigen Teiler, nämlich sich selbst. Nach unserer Definition — genau zwei Teiler — fällt sie also heraus.

Das wirkt wie eine Spitzfindigkeit. Ist es aber nicht. Der Grund liegt in dem wichtigsten Satz, den wir an diesem Abend kennenlernen.

Der Fundamentalsatz der Arithmetik

Nehmen wir uns die 60 vor und zerlegen sie, so lange es geht:

60 = 6 · 10
   = (2 · 3) · (2 · 5)
   = 2 · 2 · 3 · 5
   = 2² · 3 · 5

Man kann auch anders anfangen:

60 = 4 · 15 = (2 · 2) · (3 · 5) = 2 · 2 · 3 · 5

Oder mit 60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 = 2 · 2 · 3 · 5. Der Weg ist verschieden, das Ergebnis immer dasselbe. Das gilt nicht nur für die 60:

Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben — und zwar auf genau eine Weise, wenn man von der Reihenfolge absieht.

Dieser Satz ist der Grund, warum Primzahlen überhaupt interessant sind. Sie sind die Bausteine, aus denen sich jede andere Zahl zusammensetzt, und zwar unverwechselbar. Wie die Elemente in der Chemie.

Und jetzt die 1. Angenommen, wir würden sie als Primzahl zulassen. Dann wäre

60 = 2² · 3 · 5
60 = 1 · 2² · 3 · 5
60 = 1 · 1 · 2² · 3 · 5
60 = 1 · 1 · 1 · 2² · 3 · 5

und so weiter, unendlich viele verschiedene Zerlegungen. Das Wort „genau eine Weise" wäre hinfällig. Die 1 wird also nicht aus Willkür ausgeschlossen, sondern damit der wichtigste Satz über Primzahlen stimmt.

Das ist eine Antwort, die man sich merkt: Mathematik legt Definitionen nicht beliebig fest, sondern so, dass die Sätze einfach werden.

Wie viele Teiler hat eine Zahl?

Aus der Zerlegung lässt sich ablesen, wie viele Teiler eine Zahl hat. Für 60 = 2² · 3¹ · 5¹ gilt: Ein Teiler entsteht, indem man von jedem Baustein eine Anzahl wählt — beim Faktor 2 die Möglichkeiten 2⁰, 2¹ oder 2², also drei; bei 3 zwei Möglichkeiten; bei 5 ebenfalls zwei.

3 · 2 · 2 = 12 Teiler

Und tatsächlich: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 — zwölf Stück. Die Regel lautet: Exponenten um eins erhöhen, dann multiplizieren.

An dieser Stelle sieht man die Primzahlen noch einmal von einer anderen Seite. Eine Primzahl p hat die Zerlegung p¹, also (1+1) = 2 Teiler. Weniger geht nicht.

Am Rechner

Auf der Website unter Werkzeuge · Primzahl-Prüfer lässt sich jede Zahl prüfen und zerlegen. Bringen Sie zum nächsten Mal eine Zahl mit, die Ihnen etwas bedeutet — ein Geburtsdatum als Zahl geschrieben, eine Hausnummer, eine Telefonnummer. Wir sehen uns an, was darin steckt.